Дано:
Монета имеет два равновероятных исхода: орел и решка. Вероятность выпадения орла P(О) = 0.5 и вероятность выпадения решки P(Р) = 0.5.
Найти:
Доказать, что при бесконечном числе бросков монеты с вероятностью 1 рано или поздно выпадет орел.
Решение:
1. Обозначим событие A как "не выпал орел ни разу за n бросков". Вероятность того, что ни разу не выпадет орел за n бросков:
P(A) = P(Р) ^ n = (0.5) ^ n.
2. Для любого конечного n вероятность того, что ни разу не выпадет орел, уменьшается с увеличением n. Например, при n = 1 P(A) = 0.5, при n = 2 P(A) = 0.25, при n = 3 P(A) = 0.125 и так далее.
3. Рассмотрим предел P(A) при n стремящемся к бесконечности:
lim (n -> ∞) P(A) = lim (n -> ∞) (0.5) ^ n = 0.
Это значит, что вероятность того, что ни разу не выпадет орел, стремится к 0.
4. Следовательно, вероятность того, что хотя бы один раз выпадет орел за бесконечное количество бросков, равна:
P(О по крайней мере один раз) = 1 - P(A) = 1 - lim (n -> ∞) P(A) = 1 - 0 = 1.
Ответ: При последовательных бросаниях монеты с вероятностью 1 рано или поздно выпадет орел.