Дано:
Кузнечик начинает движение из точки 0 и каждую секунду с равными вероятностями (0.5) прыгает влево или вправо на единицу по числовой прямой.
Найти:
а) Доказать, что с вероятностью 1 рано или поздно он попадёт в точку 1.
б) Доказать, что с вероятностью 1 рано или поздно он вернётся в точку 0.
Решение:
а) Для доказательства того, что кузнечик рано или поздно достигнет точки 1, рассмотрим вероятности его движения. В каждом шаге кузнечик может переместиться на +1 или -1 с вероятностью 0.5. Пусть событие A обозначает, что кузнечик достиг точки 1. Мы можем рассмотреть последовательность его прыжков.
1. Поскольку кузнечик может находиться в любой точке, вероятность того, что он достигнет точки 1 хотя бы раз, равна 1, если он делает бесконечное количество прыжков. Это связано с тем, что:
P(достичь точки 1) = P(1, -1, 1, ...) → вероятность охвата всех целых чисел.
2. Это также можно объяснить через свойство симметрии случайного блуждания. С каждой новой итерацией кузнечик с равными шансами перемещается влево или вправо, что ведёт к тому, что все целые числа будут охвачены.
Таким образом, с вероятностью 1 кузнечик рано или поздно попадёт в точку 1.
б) Теперь рассмотрим вероятность того, что кузнечик вернётся в точку 0. Мы обозначим событие B как "кузнечик вернётся в 0".
1. Поскольку кузнечик продолжает прыгать, вероятность того, что он вернётся в 0, можно оценить так же, как и для достижения 1. Он может находиться в любом месте, и с течением времени он может вернуться обратно.
2. Состояние кузнечика описывается как марковский процесс, и в бесконечном временном интервале все возможные состояния (включая 0) будут достигнуты:
P(вернуться в 0) = P(0, 1, -1, ...) → охватывает все целые числа.
3. Это свойство случайного блуждания в одномерном пространстве подразумевает, что кузнечик вернётся в 0 с вероятностью 1.
Ответ: а) С вероятностью 1 кузнечик рано или поздно попадёт в точку 1. б) С вероятностью 1 кузнечик рано или поздно вернётся в точку 0.