дано:
- число = 10
- количество слагаемых = 3
найти:
количество способов разбить число 10 на три натуральных слагаемых с учётом порядка.
решение:
Мы ищем количество решений уравнения x1 + x2 + x3 = 10, где x1, x2, x3 - натуральные числа.
Для работы с натуральными числами, преобразуем уравнение, введя новую переменную:
y1 = x1 - 1,
y2 = x2 - 1,
y3 = x3 - 1.
Тогда y1, y2, y3 - неотрицательные целые числа, и уравнение становится:
(y1 + 1) + (y2 + 1) + (y3 + 1) = 10.
Сократим уравнение:
y1 + y2 + y3 = 7.
Теперь нам нужно найти количество неотрицательных решений уравнения y1 + y2 + y3 = 7. Это можно сделать с помощью формулы для сочетаний с повторениями:
C(n + k - 1, k - 1),
где n - сумма, которую мы хотим получить (в нашем случае 7), k - количество частей (в данном случае 3).
Подставляем значения:
C(7 + 3 - 1, 3 - 1) = C(9, 2).
Теперь вычислим C(9, 2):
C(9, 2) = 9! / (2! * (9 - 2)!) = 9! / (2! * 7!) = (9 * 8) / (2 * 1) = 72 / 2 = 36.
Таким образом, существует 36 способов разбить число 10 на три натуральных слагаемых с учётом порядка.
ответ:
36 способов.