дано:
- количество подарков = 10
- типы подарков = 3 (ёлочные игрушки, свечки, обезьянки)
найти:
количество способов выбрать 10 подарков, если в покупке должна быть хотя бы одна игрушка, хотя бы одна свечка и хотя бы одна обезьянка.
решение:
Сначала найдем общее количество способов выбрать 10 подарков без ограничений. Поскольку у нас есть 3 типа подарков, каждая из 10 позиций может быть заполнена любым из этих типов. Это дает нам:
3^10.
Теперь уберем те случаи, когда не выполнено хотя бы одно условие (то есть отсутствует хотя бы один тип подарков). Используем принцип включения-исключения.
1. Количество способов без ёлочных игрушек: оставшиеся 2 типа (свечки и обезьянки), то есть:
2^10.
2. Количество способов без свечек: также 2 типа, то есть:
2^10.
3. Количество способов без обезьянок: также 2 типа, то есть:
2^10.
Теперь сложим эти значения:
Количество случаев, где отсутствует хотя бы один тип подарков:
3 * 2^10.
Далее нужно добавить обратно те случаи, когда отсутствуют два типа подарков, так как они были вычтены дважды:
1. Без ёлочных игрушек и свечек: только один тип (обезьянки), то есть:
1^10 = 1.
2. Без ёлочных игрушек и обезьянок: только один тип (свечки), то есть:
1^10 = 1.
3. Без свечек и обезьянок: только один тип (ёлочные игрушки), то есть:
1^10 = 1.
Общее количество случаев, когда отсутствуют два типа:
3 * 1.
Теперь применяем принцип включения-исключения:
Общее количество способов с учетом условий:
общее количество - количество случаев без одного типа + количество случаев без двух типов.
Формула будет выглядеть следующим образом:
3^10 - 3 * 2^10 + 3 * 1.
Теперь подставим значения:
3^10 = 59049,
2^10 = 1024.
Расчеты:
59049 - 3 * 1024 + 3 * 1 = 59049 - 3072 + 3 = 55980.
ответ:
55980 способов.