Дано:
Случайная величина X, описывающая количество выпавших очков при броске игральной кости (от 1 до 6).
Найти:
Математическое ожидание и самое вероятное значение.
Решение:
1. Вероятности для каждой стороны кости:
P(X = 1) = 1/6,
P(X = 2) = 1/6,
P(X = 3) = 1/6,
P(X = 4) = 1/6,
P(X = 5) = 1/6,
P(X = 6) = 1/6.
2. Найдем математическое ожидание E(X):
E(X) = 1 * P(X = 1) + 2 * P(X = 2) + 3 * P(X = 3) + 4 * P(X = 4) + 5 * P(X = 5) + 6 * P(X = 6).
Подставляем значения:
E(X) = 1 * (1/6) + 2 * (1/6) + 3 * (1/6) + 4 * (1/6) + 5 * (1/6) + 6 * (1/6).
E(X) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) / 6.
E(X) = 21 / 6 = 3,5.
3. Самое вероятное значение (мода) – любое значение от 1 до 6, поскольку они все равновероятны. Например, мода = 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Ответ:
Математическое ожидание E(X) = 3,5 совпадает с модой только в случае равномерного распределения.
Теперь рассмотрим случайную величину, где математическое ожидание меньше моды.
Дано:
Случайная величина Y, которая принимает значения 1 (с вероятностью 0,8) и 10 (с вероятностью 0,2).
Найти:
Математическое ожидание и самое вероятное значение.
Решение:
1. Вероятности:
P(Y = 1) = 0,8,
P(Y = 10) = 0,2.
2. Найдем математическое ожидание E(Y):
E(Y) = 1 * P(Y = 1) + 10 * P(Y = 10).
E(Y) = 1 * 0,8 + 10 * 0,2.
E(Y) = 0,8 + 2 = 2,8.
3. Самое вероятное значение (мода) – 1 (поскольку P(Y = 1) > P(Y = 10)).
Ответ:
Математическое ожидание E(Y) = 2,8 меньше моды, которая равна 1.