Дано:
- Общее количество карт в колоде: 36
- Количество тузов в колоде: 4
Найти:
- Математическое ожидание числа открытых карт до появления первого туза.
Решение:
Обозначим X - количество открытых карт до первого туза. Возможные значения X: 1, 2, 3, ..., 36.
Для нахождения математического ожидания E(X) воспользуемся формулой:
E(X) = сумма( k * P(X = k) ) для k от 1 до 36.
Найдём вероятность P(X = k), что первый туз появляется на k-ой открытой карте:
P(X = k) = (число способов выбрать k-1 не тузов) * (вероятность, что k-ая карта - туз)
Число не тузов в колоде: 36 - 4 = 32.
Количество способов выбрать (k-1) не тузов из 32: C(32, k-1).
Количество способов выбрать 1 туза из 4: C(4, 1) = 4.
Общее количество способов выбрать k карт из 36: C(36, k).
Таким образом,
P(X = k) = C(32, k-1) * 4 / C(36, k).
Теперь, воспользуемся формулой для математического ожидания:
E(X) = сумма( k * (C(32, k-1) * 4 / C(36, k)) ) для k от 1 до 36.
Однако, проще использовать свойства геометрического распределения, поскольку X - количество испытаний до первого успеха (первого туза).
Вероятность получить туза на одной карте:
p = 4 / 36 = 1 / 9.
Тогда математическое ожидание для геометрического распределения:
E(X) = 1 / p = 1 / (1/9) = 9.
Ответ:
Математическое ожидание числа открытых карт до появления первого туза составляет 9.