Дано:
- Две стопки монет, каждая содержит 5 монет.
- Каждая монета может быть либо орлом (О), либо решкой (Р).
Найти:
Вероятность того, что в этих стопках орлов поровну.
Решение:
1. Обозначим количество орлов в первой стопке как X. Так как в каждой стопке по 5 монет, то возможные значения X: 0, 1, 2, 3, 4, 5.
2. Чтобы количество орлов было одинаковым в обеих стопках, для X = k (где k = 0, 1, 2, 3, 4, 5) во второй стопке должно быть также k орлов.
3. Расчет общего количества способов распределить монеты:
Общее количество распределений монет между двумя стопками = 2^(5 + 5) = 2^10 = 1024.
4. Теперь найдем количество благоприятных исходов, когда в обеих стопках количество орлов равно k.
Количество способов выбрать k орлов из 5 для первой стопки = C(5, k).
Аналогично, количество способов выбрать k орлов для второй стопки также равно C(5, k).
5. Таким образом, общее количество благоприятных исходов для фиксированного k равно:
C(5, k) * C(5, k).
6. Суммируем по всем возможным значениям k:
Количество благоприятных исходов = сумма от k = 0 до 5: C(5, k)^2.
7. Используем формулу биномиальных коэффициентов:
Сумма квадратов биномиальных коэффициентов равна C(10, 5):
Сумма от k = 0 до 5: C(5, k)^2 = C(10, 5) = 252.
8. Следовательно, общее количество благоприятных исходов = 252.
9. Вероятность того, что в двух стопках орлов поровну, равна количеству благоприятных исходов деленному на общее количество распределений:
P(орлов поровну) = 252 / 1024.
10. Упрощаем дробь:
P(орлов поровну) = 63 / 256.
Ответ:
Вероятность того, что в этих стопках орлов поровну, равна 63 / 256.