Дано:
- Сумма выпавших очков S = 2016.
- Игральная кость имеет 6 граней, на каждой грани числа от 1 до 6.
Найти:
а) Математическое ожидание числа сделанных бросков.
б) Прокомментировать заявления Сергея и Николая о количестве бросков.
Решение:
а)
1. Математическое ожидание (МО) одной попытки броска игральной кости:
E(X) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) / 6 = 21 / 6 = 3.5.
2. Обозначим количество бросков как N, тогда сумма выпавших очков S можно выразить через МО:
S = N * E(X).
3. Подставим известные значения:
2016 = N * 3.5.
4. Решаем уравнение для N:
N = 2016 / 3.5 = 2016 * (2 / 7) = 576.
Ответ:
Математическое ожидание числа сделанных бросков равно 576.
б)
1. Сергей утверждает, что он получил сумму 2016 за 554 броска. Найдем среднее количество очков, выпавшее при этом:
Среднее очко = 2016 / 554 ≈ 3.64.
2. Николай говорит, что ему понадобилось 450 бросков:
Среднее очко = 2016 / 450 ≈ 4.48.
3. Максимальное значение, которое можно получить за один бросок кости, равно 6, а минимальное — 1.
4. Поскольку среднее значение в случае Сергея (3.64) меньше 3.5, что является математическим ожиданием, это может быть допустимо, так как в случайном процессе возможны отклонения.
5. Однако среднее значение Николая (4.48) превышает 3.5, что также возможно, но требует, чтобы Николай получал очень много шестёрок и других высоких значений, что менее вероятно.
6. В общем, оба могут заявлять правду, но шансы на то, что Николай добился такой суммы за 450 бросков, значительно ниже, чем у Сергея, так как это требует слишком большой удачи.
Ответ:
Сергей мог достичь своей суммы за 554 броска, но вероятность Николая с 450 бросками гораздо меньше, несмотря на то что обе версии теоретически возможны.