Дано:
- Вероятность поражения мишени p = 0.4.
- Число мишеней n = 5.
- Максимальное число выстрелов на каждую мишень = 2.
Найти:
а) Вероятность того, что будут поражены ровно четыре мишени из пяти.
б) Математическое ожидание числа потраченных патронов.
в) Математическое ожидание числа потраченных патронов, если известно, что биатлонист поразил ровно три мишени.
Решение:
а)
1. Для каждой мишени возможны следующие исходы:
- Успех (поражение) = 1,
- Промах = 0.
- Если два промаха, то переходим к следующей мишени.
2. Для того чтобы поразить ровно 4 мишени, можно иметь следующие комбинации:
- 2 выстрела на 4 мишени и 0 выстрелов на 1 мишень.
- 1 выстрел на 4 мишени и 2 промаха на 1 мишени.
3. Рассчитаем вероятность для каждого случая.
Случай 1: 2 выстрела на 4 мишени и 0 выстрелов на 1 мишени.
P(успех на 2) = p^2 = 0.4^2 = 0.16 (поражение).
P(промах на 0) = (1-p)^2 = 0.6^2 = 0.36 (два промаха).
Общая вероятность для 4 мишеней:
Коэффициент = C(5,4) = 5 (выбор 4 из 5).
P(четыре мишени) = C(5,4) * P(успех на 2)^4 * P(промах на 0) = 5 * 0.16^4 * 0.36 = 5 * 0.00065536 * 0.36 ≈ 0.001179.
Случай 2: 1 выстрел на 4 мишени и 2 промаха на 1 мишени.
P(успех на 1) = p = 0.4.
P(промах на 1) = (1-p) = 0.6.
Коэффициент для 3 мишеней с одним выстрелом = C(5,3) = 10.
P(четыре мишени) = C(5,3) * P(успех на 1)^4 * P(промах на 2) = 10 * 0.4^3 * 0.6^2 = 10 * 0.064 * 0.36 = 0.2304.
Теперь суммируем вероятности:
P(четыре мишени) = 0.001179 + 0.2304 ≈ 0.231579.
Ответ:
Вероятность того, что будут поражены ровно четыре мишени из пяти составляет примерно 0.2316.
б)
1. Рассмотрим, сколько выстрелов может быть сделано на одну мишень:
- Вероятность победить с 1 выстрелом = p = 0.4.
- Вероятность выиграть с 2 выстрелами = p * (1 - (1 - p)^2) = p * (1 - 0.6^2) = 0.4 * (1 - 0.36) = 0.4 * 0.64 = 0.256.
- Вероятность не поразить ее = (1 - p)^2 = 0.6^2 = 0.36.
2. Среднее количество выстрелов на одну мишень:
E(X) = 1 * p + 2 * P(успех на 2) + 0 * P(неудача) = 1 * 0.4 + 2 * 0.256 + 0 * 0.36 = 0.4 + 0.512 = 0.912.
3. Общее математическое ожидание для 5 мишеней:
E(total) = 5 * E(X) = 5 * 0.912 = 4.56.
Ответ:
Математическое ожидание числа потраченных патронов составляет 4.56.