Дано:
Количество колёс n = 4 (летние колёса на машине).
Найти: математическое ожидание и стандартное отклонение числа колёс, которые оказались на своём прежнем месте.
Решение:
Обозначим случайную величину X как число колёс, которые оказались на своём месте. X может принимать значения от 0 до 4.
Каждое колесо может быть на своём месте или не на своём месте. Мы можем использовать понятие "индикаторной случайной величины". Для каждого колеса определим индикаторную переменную I_i, где i = 1, 2, 3, 4:
I_i = 1, если i-е колесо на своём месте,
I_i = 0, если i-е колесо не на своём месте.
Тогда X = I_1 + I_2 + I_3 + I_4.
Для нахождения математического ожидания E(X) используем линейность математического ожидания:
E(X) = E(I_1) + E(I_2) + E(I_3) + E(I_4).
Вероятность того, что i-е колесо окажется на своём месте:
P(I_i = 1) = 1/4, так как каждое колесо имеет равные шансы оказаться на любом из 4 мест.
Следовательно,
E(I_i) = 1 * (1/4) + 0 * (3/4) = 1/4.
Теперь подставим в формулу:
E(X) = 4 * (1/4) = 1.
Теперь найдём дисперсию D(X):
D(X) = D(I_1 + I_2 + I_3 + I_4).
Сначала найдём дисперсию каждой индикаторной величины:
D(I_i) = E(I_i^2) - (E(I_i))^2 = (1 * (1/4) + 0 * (3/4)) - (1/4)^2 = (1/4) - (1/16) = 3/16.
Поскольку индикаторные величины независимы, то:
D(X) = D(I_1) + D(I_2) + D(I_3) + D(I_4) = 4 * (3/16) = 3/4.
Теперь найдём стандартное отклонение:
σ(X) = √D(X) = √(3/4) = √3/2.
Ответ:
Математическое ожидание числа колёс, которые оказались на своём месте, E(X) = 1.
Стандартное отклонение σ(X) = √3/2.