Дано:
- В роте 101 солдат, отличающихся по росту.
- Они выстроились в одну шеренгу в случайном порядке.
Найти:
а) математическое ожидание числа тех, кто выше своего левого соседа.
б) математическое ожидание числа тех, кто ниже обоих своих соседей.
Решение:
а) Обозначим X как количество солдат, которые выше своего левого соседа. Каждый солдат (начиная со второго) имеет вероятность 1/2 быть выше своего левого соседа, так как рост солдат различен.
Количество солдат, у которых есть левый сосед, равно 100 (с 2-го по 101-го).
Ожидаемое значение X вычисляется как:
E(X) = сумма P(X_i), где X_i = 1, если i-й солдат выше своего левого соседа, и 0 в противном случае.
E(X) = 100 * (1/2) = 50.
Ответ для пункта а: 50.
б) Обозначим Y как количество солдат, которые ниже обоих своих соседей. Для солдат, которые не находятся на краях (с 2-го по 100-й), у каждого есть два соседа. Вероятность, что i-й солдат ниже обоих соседей, равна 1/3. Это связано с тем, что среди трех соседей (i-й и его два соседа) может быть три различных варианта:
1. i-й солдат ниже обоих.
2. i-й солдат выше одного, ниже другого.
3. i-й солдат выше обоих.
Таким образом, мы имеем:
E(Y) = 99 * (1/3).
Здесь 99 - количество солдат с двумя соседями (с 2-го по 100-й).
Ответ для пункта б: 33.
Итак, ответы:
а) 50
б) 33