Дано:
- У первого друга 1000 рублей.
- У второго друга 3000 рублей.
- Стоимость модели вертолета 1800 рублей.
Найти:
Вероятность того, что оставшейся у них суммы хватит на покупку вертолета.
Решение:
1. Обозначим:
A - сумма, оставшаяся у первого друга после его покупок.
B - сумма, оставшаяся у второго друга после его покупок.
2. Сумма, оставшаяся у обоих друзей:
S = A + B.
3. Условия для покупки вертолета:
S >= 1800 рублей.
4. Максимальные возможные расходы каждого друга:
- Первый друг может потратить не более 1000 рублей, следовательно, A может варьироваться от 0 до 1000.
- Второй друг может потратить не более 3000 рублей, следовательно, B может варьироваться от 0 до 3000.
5. Находим границы для S:
- Минимальная сумма, которая может остаться, равна 0 (если оба потратят все деньги).
- Максимальная сумма равна 4000 рублей (если оба не потратят ничего).
6. Для того чтобы S было не меньше 1800:
A + B >= 1800.
7. Рассмотрим максимальную сумму, которую могут потратить оба друга:
- Если первый друг потратил x рублей, тогда A = 1000 - x.
- Если второй друг потратил y рублей, тогда B = 3000 - y.
8. Подставим в неравенство:
(1000 - x) + (3000 - y) >= 1800.
Упрощаем:
4000 - (x + y) >= 1800.
Следовательно:
x + y <= 2200.
9. Сумма расходов x и y должна быть не больше 2200 рублей.
- Первый друг может потратить не более 1000 рублей.
- Второй друг может потратить не более 3000 рублей.
10. Теперь находим вероятность того, что сумма, оставшаяся у них, позволит купить вертолет:
- Всего возможных пар (x, y) для первого друга от 0 до 1000, а для второго от 0 до 3000. Это прямоугольник с вершинами (0,0), (1000,0), (1000,3000), (0,3000).
- Площадь этого прямоугольника равна 1000 * 3000 = 3000000.
11. Условие x + y <= 2200 ограничивает область:
- Для x = 0, y может варьироваться от 0 до 2200.
- Для x = 1000, y не может превышать 1200.
12. Таким образом, для решения этой задачи необходимо учитывать пересечение треугольников, ограниченных линией x + y = 2200.
13. Площадь области, соответствующей условию x + y <= 2200:
- Находим точку пересечения с осью y: y = 2200, x = 0 (точка A: (0, 2200)).
- Находим точку пересечения с осью x: x = 2200, y = 0 (точка B: (2200, 0)).
- Находим, что линия пересекает верхнюю границу второго друга при x = 1000, y = 1200 (точка C: (1000, 1200)).
14. Площадь треугольника, образованного точками (0,0), (0,2200), (1000,1200):
- Площадь треугольника = 0.5 * основание * высота = 0.5 * 1000 * 2200 = 1100000.
15. Теперь можем найти вероятность:
P = Площадь треугольника / Площадь всего прямоугольника = 1100000 / 3000000 = 11/30.
Ответ: 11/30.