Question

В старину в России был новогодний обычай, особенно популярный среди детей: каждый гость приходил на праздничный ужин с подарком (гостинцем); хозяин дома также готовил гостинец. Затем хозяин устраивал розыгрыш, и каждому доставался какой-то из гостинцев. Могло случиться так, что кому-то из присутствующих доставался его же собственный подарок. Предположим, что на ужин пришло 25 гостей, таким образом хозяин разыгрывает случайным образом 26 гостинцев между 26 претендентами. Найдите математическое ожидание числа тех, кому достанется его же собственный гостинец.

Answer 1

Дано:
- n = 26 (число гостей, включая хозяина).

Найти:
Математическое ожидание числа тех, кому достанется его собственный гостинец.

Решение:
1. Обозначим Xi - индикаторную случайную величину, равную 1, если i-му гостю достается его собственный подарок, и 0 в противном случае. Тогда количество гостей, получивших свои подарки, можно выразить как:

S = X1 + X2 + ... + X26.

2. Для нахождения математического ожидания E(S) воспользуемся линейностью математического ожидания:

E(S) = E(X1) + E(X2) + ... + E(X26).

3. Найдем E(Xi) для любого i. Вероятность того, что i-й гость получит свой подарок, равна 1/n, где n = 26:

E(Xi) = 1/n = 1/26.

4. Подставим это значение в формулу:

E(S) = 26 * E(Xi) = 26 * (1/26) = 1.

Ответ:
Математическое ожидание числа тех, кому достанется его собственный гостинец, равно 1.