Question

В ужасную грозу по верёвочной лестнице цепочкой поднимаются 10 гномиков. Если вдруг случится удар грома, то от испуга каждый гномик, независимо от других, может упасть с вероятностью 0,2. Если гномик падает, то он сшибает и всех гномиков, которые находятся ниже. Найдите вероятность того, что в результате удара грома упадёт ровно 7 гномиков.

Answer 1

Дано:
- Количество гномиков: n = 10.
- Вероятность падения одного гномика: p = 0.2.
- Вероятность, что гномик не упадет: q = 1 - p = 0.8.
- Необходимо найти вероятность того, что упадёт ровно 7 гномиков.

Найти:
Вероятность того, что упадёт ровно 7 гномиков.

Решение:

1. Условие задачи предполагает, что если какой-то гномик упадёт, то все гномики ниже него также упадут. Это означает, что для того, чтобы ровно 7 гномиков упали, должен упасть 7-й гномик, а 8-й, 9-й и 10-й гномики должны остаться на месте.

2. Следовательно, упадут 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7 гномики, а гномики 8, 9 и 10 не должны упасть.

3. Вероятность, что гномики 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7 упадут:

   P(падение 7 гномиков) = p^7 = 0.2^7.

4. Вероятность, что гномики 8, 9 и 10 не упадут:

   P(непадение 3 гномиков) = q^3 = 0.8^3.

5. Общая вероятность того, что упадёт ровно 7 гномиков:

   P(упадёт ровно 7 гномиков) = p^7 * q^3.

Подставим значения:

P(упадёт ровно 7 гномиков) = (0.2^7) * (0.8^3).

6. Теперь вычислим каждую часть:

   0.2^7 = 0.000128.
   0.8^3 = 0.512.

7. Перемножим:

   P(упадёт ровно 7 гномиков) = 0.000128 * 0.512 = 0.000065536.

Ответ:
Вероятность того, что в результате удара грома упадёт ровно 7 гномиков, составляет 0.000065536.