Question

Ровно половина населения острова Невезения — зайцы, а остальные — кролики. Жители острова Невезения никогда не обманывают, но могут добросовестно заблуждаться. Зайцы добросовестно заблуждаются в среднем два раза их трех, а кролики добросовестно заблуждаются в среднем в половине случаев. Однажды к центральной пальме острова вышел зверь и закричал: «Я не заяц!». Помолчал и печально прошептал: «Я не кролик». Какова вероятность того, что он все же кролик? Результат округлите до тысячных.

Answer 1

Дано:
- Площадь населения острова Невезения: 50% зайцев, 50% кроликов.
- Вероятность заблуждения зайцев: 2/3.
- Вероятность заблуждения кроликов: 1/2.
- Зверь утверждает: "Я не заяц" и "Я не кролик".

Найти:
Вероятность того, что зверь — кролик, после его заявлений.

Решение:

1. Обозначим события:
   - Z — зверь заяц.
   - K — зверь кролик.
   - A — зверь говорит "Я не заяц".
   - B — зверь говорит "Я не кролик".

2. Используем теорему Байеса для нахождения искомой вероятности P(K | A, B).

3. Сначала найдем вероятности P(A | Z) и P(A | K):
   - P(A | Z): если зверь заяц, он говорит правду 1/3 и говорит "Я не заяц", тогда P(A | Z) = 2/3.
   - P(A | K): если зверь кролик, он заблуждается 1/2 и может сказать "Я не заяц", тогда P(A | K) = 1/2.

4. Найдем вероятности P(B | Z) и P(B | K):
   - P(B | Z): если зверь заяц, он может сказать "Я не кролик", тогда P(B | Z) = 1/3.
   - P(B | K): если зверь кролик, он говорит правду 1/2 и говорит "Я не кролик", тогда P(B | K) = 1/2.

5. Используем формулу полной вероятности для P(A, B):
   P(A, B) = P(A, B | Z)P(Z) + P(A, B | K)P(K).

6. Находим P(A, B | Z):
   P(A, B | Z) = P(A | Z) * P(B | Z) = (2/3) * (1/3) = 2/9.

7. Находим P(A, B | K):
   P(A, B | K) = P(A | K) * P(B | K) = (1/2) * (1/2) = 1/4.

8. Подставляем в формулу полной вероятности:
   P(A, B) = P(A, B | Z) * P(Z) + P(A, B | K) * P(K)
   = (2/9) * (1/2) + (1/4) * (1/2)
   = (2/18) + (1/8)
   = 2/18 + 9/72 = 8/72 + 9/72 = 17/72.

9. Находим P(K | A, B) по формуле Байеса:
   P(K | A, B) = P(A, B | K) * P(K) / P(A, B)
   = (1/4) * (1/2) / (17/72)
   = (1/8) / (17/72)
   = (1/8) * (72/17)
   = 9/17.

Ответ:
Вероятность того, что зверь — кролик, составляет 0.529 (округлено до тысячных).