Дано:
Ускорение свободного падения g = 9.81 м/с².
Начальная скорость v0 = 0 м/с.
Найти:
1) Среднюю скорость свободно падающего тела за первую, вторую и третью секунду.
2) Среднюю скорость тела за n-ю секунду свободного падения.
Решение:
1) Для нахождения средней скорости в интервале времени t используем формулу:
v_avg = (S_end - S_start) / (t_end - t_start),
где S(t) – перемещение на время t, которое можно найти по формуле:
S(t) = (1/2) * g * t².
Теперь найдем среднюю скорость за каждую из первых трех секунд.
а) За первую секунду (t = 0 до t = 1):
S(1) = (1/2) * g * (1)² = (1/2) * 9.81 * 1 = 4.905 м.
S(0) = 0 м.
Тогда v_avg(1) = (S(1) - S(0)) / (1 - 0) = (4.905 - 0) / 1 = 4.905 м/с.
б) За вторую секунду (t = 1 до t = 2):
S(2) = (1/2) * g * (2)² = (1/2) * 9.81 * 4 = 19.62 м.
S(1) = 4.905 м.
Тогда v_avg(2) = (S(2) - S(1)) / (2 - 1) = (19.62 - 4.905) / 1 = 14.715 м/с.
в) За третью секунду (t = 2 до t = 3):
S(3) = (1/2) * g * (3)² = (1/2) * 9.81 * 9 = 44.145 м.
S(2) = 19.62 м.
Тогда v_avg(3) = (S(3) - S(2)) / (3 - 2) = (44.145 - 19.62) / 1 = 24.525 м/с.
2) Средняя скорость тела за n-ю секунду можно выразить через перемещения.
Средняя скорость за n-ю секунду будет равна:
v_avg(n) = (S(n) - S(n-1)) / 1 = S(n) - S(n-1).
Сначала найдем S(n) и S(n-1):
S(n) = (1/2) * g * n²,
S(n-1) = (1/2) * g * (n-1)².
Подставим значения:
v_avg(n) = (1/2) * g * n² - (1/2) * g * (n-1)².
Раскроем скобки:
v_avg(n) = (1/2) * g * [n² - (n² - 2n + 1)] = (1/2) * g * (2n - 1).
Ответ:
1) Средняя скорость за первую секунду около 4.905 м/с, за вторую секунду около 14.715 м/с, за третью секунду около 24.525 м/с.
2) Средняя скорость тела за n-ю секунду свободного падения равна (1/2) * g * (2n - 1) м/с.