Дано:
Начальная скорость v0 (м/с).
Ускорение свободного падения g = 9.81 м/с².
Высота h (м), где h < v0²/(2g).
Найти:
а) Время t1, через которое камень достигнет высоты h в первый раз.
б) Модуль скорости камня v в этот момент.
в) Время t2, через которое камень окажется на высоте h второй раз, и скорость v2 в этот момент.
Решение:
а) Для нахождения времени t1, когда камень достигнет высоты h в первый раз, используем уравнение движения:
h = v0 * t1 - (1/2) * g * t1².
Преобразуем уравнение:
(1/2) * g * t1² - v0 * t1 + h = 0.
Это квадратное уравнение относительно t1. Используем формулу дискриминанта D:
D = b² - 4ac,
где a = (1/2) * g, b = -v0, c = h.
Подставим значения:
D = (-v0)² - 4 * ((1/2) * g) * h,
D = v0² - 2gh.
Теперь найдем время t1 с помощью формулы корней квадратного уравнения:
t1 = (v0 ± sqrt(D)) / g.
Так как нам нужно первое время (высота h достигается вверх), берем положительный корень:
t1 = (v0 - sqrt(v0² - 2gh)) / g.
б) Теперь найдем модуль скорости v камня в этот момент. Используем уравнение скорости:
v = v0 - g * t1.
Подставим значение t1:
v = v0 - g * (v0 - sqrt(v0² - 2gh)) / g,
v = v0 - (v0 - sqrt(v0² - 2gh)),
v = sqrt(v0² - 2gh.
в) Чтобы найти второе время t2, когда камень снова достигнет высоты h, учтем, что это будет происходить при спуске. Уравнение будет таким же, но теперь будем использовать то же самое уравнение для времени, только возьмем другой корень:
t2 = (v0 + sqrt(v0² - 2gh)) / g.
Скорость v2 камня в этот момент будет:
v2 = v0 - g * t2.
Подставим значение t2:
v2 = v0 - g * (v0 + sqrt(v0² - 2gh)) / g,
v2 = v0 - (v0 + sqrt(v0² - 2gh)),
v2 = -sqrt(v0² - 2gh).
Ответы:
а) Время t1 = (v0 - sqrt(v0² - 2gh)) / g.
б) Модуль скорости v = sqrt(v0² - 2gh).
в) Время t2 = (v0 + sqrt(v0² - 2gh)) / g, скорость v2 = -sqrt(v0² - 2gh).