Дано:
Время в пути t = 2 мин = 120 с
Расстояние S = 2 км = 2000 м
Половина времени (t1 = t / 2 = 60 с) электричка ехала равномерно, а другая половина (t2 = 60 с) — разгонялась и тормозила.
Найти:
Скорость равномерного движения v.
Решение:
1. Общая формула для расстояния:
S = S1 + S2,
где S1 — расстояние, пройденное при равномерном движении,
S2 — расстояние, пройденное при разгонке и торможении.
2. Так как электричка равномерно двигалась половину времени, то:
S1 = v * t1.
3. Расстояние S2, пройденное за время t2 (разгон и торможение), можно выразить через среднюю скорость при равноускоренном движении:
S2 = (v_initial + v_final) / 2 * t2.
При равномерном движении v_initial = v,
v_final = v + a * t2, где a — ускорение (в процессе разгона).
4. Подставим S1 и S2 в общую формулу:
S = v * t1 + (v + (v + a * t2)) / 2 * t2.
Согласно условиям, S = 2000 м и t1 = t2 = 60 с. Подставим:
2000 = v * 60 + ((v + (v + a * 60)) / 2) * 60.
5. Упростим уравнение:
2000 = 60v + 30 * (2v + a * 60).
6. Раскроем скобки:
2000 = 60v + 60v + 30a * 60,
2000 = 120v + 1800a.
7. Теперь у нас есть два уравнения:
(1) 2000 = 120v + 1800a,
(2) S = 2000, где S = S1 + S2.
8. Поскольку электричка равномерно двигалась на половину времени, можем записать:
S1 = v * 60, S2 = 30 * (2v + a * 60).
Суммируя:
2000 = 60v + 30 * (2v + 60a).
9. Получаем систему уравнений:
(1) 2000 = 120v + 1800a,
(2) 2000 = 60v + 30 * (2v + 60a).
10. Упростим второе уравнение:
2000 = 60v + 60v + 1800a,
2000 = 120v + 1800a.
11. Заметим, что оба уравнения совпадают, и мы можем выразить a через v:
a = (2000 - 120v) / 1800.
12. Подставим значение a в одно из уравнений и найдем v:
2000 = 120v + 1800 * (2000 - 120v) / 1800.
13. Это уравнение всегда будет верным, поскольку оно является следствием начальных условий. Теперь мы можем просто выразить v как среднюю скорость:
v = S / t1 = 2000 / 60 = 33.33 м/с.
Ответ:
Скорость равномерного движения составляет 33.33 м/с.