Дано:
- начальная скорость первого шарика v0 = 20 м/с
- ускорение свободного падения g = 9.81 м/с²
- высота первого шарика в момент t1 (время, когда он достигает высшей точки)
Найти:
- время t, через которое шарики столкнутся
- высоту h, на которой произойдет столкновение
Решение:
1. Определим время t1, когда первый шарик достигает высшей точки. В высшей точке скорость равна нулю, поэтому используем формулу:
v = v0 - g * t1 = 0
20 - 9.81 * t1 = 0
t1 = 20 / 9.81 ≈ 2.04 с
2. Высота h1, на которую поднимется первый шарик, равна:
h1 = v0 * t1 - (g * t1²) / 2
h1 = 20 * 2.04 - (9.81 * (2.04)²) / 2
h1 = 40.8 - (9.81 * 4.16) / 2
h1 = 40.8 - 20.45 ≈ 20.35 м
3. Второй шарик будет брошен через t1 = 2.04 с с той же начальной скоростью, то есть через t = t + 2.04 с.
4. Параметры движения обоих шариков:
Для первого шарика:
y1(t) = v0 * t - (g * t²) / 2
y1(t) = 20 * t - (9.81 * t²) / 2
Для второго шарика (брошен через 2.04 с):
y2(t) = v0 * (t - 2.04) - (g * (t - 2.04)²) / 2
y2(t) = 20 * (t - 2.04) - (9.81 * (t - 2.04)²) / 2
5. Условия столкновения:
y1(t) = y2(t)
20 * t - (9.81 * t²) / 2 = 20 * (t - 2.04) - (9.81 * (t - 2.04)²) / 2
6. Упростим уравнение:
20 * t - (9.81 * t²) / 2 = 20 * t - 40.8 + 20.8 - (9.81 * (t² - 4.08t + 4.16)) / 2
Сократим:
0 = -40.8 + 20.8 + (9.81 * (t² - 4.08t + 4.16)) / 2
40.8 - 20.8 = (9.81 * (t² - 4.08t + 4.16)) / 2
20 = (9.81 * (t² - 4.08t + 4.16)) / 2
t² - 4.08t + 4.16 = 40.8 / 9.81
t² - 4.08t + 4.16 = 4.16
t² - 4.08t = 0
t(t - 4.08) = 0
7. Решение:
t = 0 (начальный момент) или t = 4.08 с.
8. Находим высоту h, где произошло столкновение:
h = y1(4.08) = 20 * 4.08 - (9.81 * (4.08)²) / 2
h = 81.6 - (9.81 * 16.64) / 2
h = 81.6 - 81.68 ≈ 0 м (на уровне начала движения)
Ответ: шарики столкнутся через 4.08 с на высоте около 0 м (в момент, когда первый шарик начнет падать).