Question

На каком расстоянии от центра Земли должен находиться космический корабль, чтобы силы, с которыми его притягивают Земля и Луна, уравновешивали друг друга? При расчётах примите, что масса Луны в 81 раз меньше массы Земли, а среднее расстояние между центрами Земли и Луны в 60 раз больше радиуса Земли.

Answer 1

дано:  
масса Земли M_earth ≈ 5.972 × 10^(24) кг  
масса Луны M_moon = M_earth / 81 ≈ 7.355 × 10^(22) кг  
радиус Земли R_earth ≈ 6371 км = 6.371 × 10^6 м  
расстояние между центрами Земли и Луны D = 60 * R_earth = 60 * 6.371 × 10^6 м ≈ 3.8226 × 10^8 м  

найти:  
расстояние от центра Земли до космического корабля (x), чтобы силы притяжения со стороны Земли и Луны уравновешивали друг друга  

решение:  
Сила притяжения со стороны Земли на космический корабль определяется формулой:

F_earth = G * (M_earth * m) / x^2

Сила притяжения со стороны Луны на космический корабль:

F_moon = G * (M_moon * m) / (D - x)^2

где G - гравитационная постоянная (G ≈ 6.674 × 10^(-11) Н·м²/кг²), m - масса космического корабля (она будет сокращена).

Для равновесия:

F_earth = F_moon  

Подставим выражения для сил:

G * (M_earth * m) / x^2 = G * (M_moon * m) / (D - x)^2

Сократим G и m:

M_earth / x^2 = M_moon / (D - x)^2

Теперь подставим значение массы Луны:

M_earth / x^2 = (M_earth / 81) / (D - x)^2

Умножим обе стороны на 81 * x^2 * (D - x)^2:

81 * M_earth * (D - x)^2 = M_earth * x^2

Сократим M_earth (при условии, что M_earth не равно нулю):

81 * (D - x)^2 = x^2

Раскроем скобки и упрощаем:

81 * (D^2 - 2Dx + x^2) = x^2  
81D^2 - 162Dx + 81x^2 = x^2  

Переносим все в одну сторону:

80x^2 - 162Dx + 81D^2 = 0  

Это квадратное уравнение относительно x. Подставим D = 3.8226 × 10^8 м:

80x^2 - 162 * (3.8226 × 10^8)x + 81 * (3.8226 × 10^8)^2 = 0

Теперь вычислим коэффициенты:

D^2 = (3.8226 × 10^8)^2 ≈ 1.4593 × 10^17  
81D^2 ≈ 1.1823 × 10^19  
162D ≈ 6.1194 × 10^10

Таким образом, уравнение становится:

80x^2 - 6.1194 × 10^10 * x + 1.1823 × 10^19 = 0

Решим его с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac  
D = (-6.1194 × 10^10)^2 - 4 * 80 * 1.1823 × 10^19  
D = 3.7382 × 10^21 - 3.7854 × 10^20  
D = 3.3597 × 10^21

Находим корни уравнения:

x = (6.1194 × 10^10 ± sqrt(3.3597 × 10^21)) / (2 * 80)

Вычисляем:

x ≈ (6.1194 × 10^10 ± 5.788 × 10^10) / 160

Поскольку нас интересует положительное значение:

x ≈ (11.9074 × 10^10) / 160 ≈ 7.4421 × 10^8 м

Ответ:  
Космический корабль должен находиться на расстоянии примерно 744.21 км от центра Земли, чтобы силы притяжения со стороны Земли и Луны уравновешивали друг друга.