дано:
- вес тела на полюсе P(пол) в p раз больше, чем на экваторе P(экв)
- средняя плотность планеты ρ
найти:
период T вращения планеты вокруг собственной оси.
решение:
1. Вес тела на экваторе можно выразить как:
P(экв) = m * g(экв),
где g(экв) - ускорение свободного падения на экваторе.
2. Вес тела на полюсе выражается следующим образом:
P(пол) = m * g(пол),
где g(пол) - ускорение свободного падения на полюсе.
3. По условию задачи имеем:
P(пол) = p * P(экв).
4. Подставим значения для весов:
m * g(пол) = p * (m * g(экв)).
5. Упростим уравнение и уберем массу тела m:
g(пол) = p * g(экв).
6. Выразим g(экв) следующим образом:
g(экв) = G * M / R² - a_c,
где a_c - центростремительное ускорение на экваторе.
7. Центростремительное ускорение a_c определяется как:
a_c = (4 * π² * R) / T², где v = (2 * π * R) / T.
8. На полюсе нет центростремительного ускорения, поэтому:
g(пол) = G * M / R².
9. Теперь подставим g(экв) и g(пол) в равенство:
G * M / R² = p * (G * M / R² - (4 * π² * R) / T²).
10. Умножим обе стороны уравнения на R²:
G * M = p * (G * M - (4 * π² * R³) / T²).
11. Перепишем уравнение:
G * M = p * G * M - (4 * π² * R³ * p) / T².
12. Переносим все слагаемые на одну сторону:
G * M - p * G * M = -(4 * π² * R³ * p) / T².
13. Упрощаем:
(1 - p) * G * M = -(4 * π² * R³ * p) / T².
14. Теперь выразим T²:
T² = -(4 * π² * R³ * p) / ((1 - p) * G * M).
15. Поскольку T² должно быть положительным, мы рассматриваем модуль:
T² = (4 * π² * R³ * p) / ((p - 1) * G * M).
16. Теперь найдем T:
T = √((4 * π² * R³ * p) / ((p - 1) * G * M)).
ответ:
Период T вращения планеты вокруг собственной оси равен √((4 * π² * R³ * p) / ((p - 1) * G * M)).