дано:
- период вращения T = 3 * 10^4 с
- вес тела на экваторе составляет 97 % от веса этого же тела на полюсе, то есть P(экв) = 0.97 * P(пол)
найти:
среднюю плотность планеты ρ.
решение:
1. Обозначим g(экв) - ускорение свободного падения на экваторе, g(пол) - ускорение свободного падения на полюсе.
2. По условию имеем:
g(экв) = 0.97 * g(пол).
3. Ускорение свободного падения на экваторе можно выразить как:
g(экв) = G * M / R² - a_c,
где a_c - центростремительное ускорение на экваторе.
4. Центростремительное ускорение a_c определяется как:
a_c = (4 * π² * R) / T².
5. Подставим a_c в формулу для g(экв):
g(экв) = G * M / R² - (4 * π² * R) / T².
6. На полюсе ускорение свободного падения определяется только гравитацией:
g(пол) = G * M / R².
7. Теперь подставим g(экв) и g(пол) в равенство:
G * M / R² - (4 * π² * R) / T² = 0.97 * (G * M / R²).
8. Упрощаем уравнение:
G * M / R² - 0.97 * (G * M / R²) = (4 * π² * R) / T².
9. Перепишем это в более удобной форме:
(1 - 0.97) * (G * M / R²) = (4 * π² * R) / T².
10. Упростим:
0.03 * (G * M / R²) = (4 * π² * R) / T².
11. Теперь выразим G * M / R²:
G * M / R² = (4 * π² * R) / (0.03 * T²).
12. Средняя плотность планеты ρ выражается через массу M и объем V:
ρ = M / V, где V = (4/3) * π * R³.
13. Подставляя V в формулу для плотности, получаем:
ρ = M / ((4/3) * π * R³).
14. Применяя G * M = ρ * (4/3) * π * R³, подставим в уравнение для G * M / R²:
(ρ * (4/3) * π * R³) / R² = (4 * π² * R) / (0.03 * T²).
15. Упростим уравнение:
(ρ * (4/3) * π * R) = (4 * π²) / (0.03 * T²).
16. Разделим обе стороны на (4/3) * π:
ρ = (4 * π²) / (0.03 * T² * (3/4) * π),
17. Упростим:
ρ = (4 * π) / (0.03 * T²).
18. Подставим значение T:
T = 3 * 10^4 с.
19. Получим:
ρ = (4 * π) / (0.03 * (3 * 10^4)²).
20. Посчитаем численно:
ρ ≈ (4 * 3.14) / (0.03 * 9 * 10^8) ≈ 0.418 / (2.7 * 10^7) ≈ 1.55 * 10^-8.
ответ:
Средняя плотность планеты приблизительно равна 1.55 * 10^-8 кг/м³.