Дано:
- угол наклона α = 30°,
- расстояние от шайбы до оси вращения r = 10 см = 0,1 м,
- коэффициент трения μ = 0,3.
Найти:
а) частоту вращения, при которой сила трения равна нулю,
б) минимальную частоту вращения, при которой шайба удержится на плоскости,
в) максимальную частоту вращения, при которой шайба удержится на плоскости.
Решение:
Сначала определим силы, действующие на шайбу. На неё действуют:
1. Сила тяжести F_g = m * g,
2. Нормальная сила N,
3. Сила трения F_t = μ * N.
При равномерном вращении шайбы возникает центростремительное ускорение a_c:
a_c = ω² * r,
где ω - угловая скорость в радианах в секунду.
а) При нулевой силе трения условие равновесия вдоль наклонной плоскости будет следующим:
m * g * sin(α) = m * a_c.
Сокращаем массу (m):
g * sin(α) = ω² * r.
Теперь подставляем известные значения:
g = 9,81 м/с²,
sin(30°) = 0,5,
r = 0,1 м.
Получаем уравнение:
9,81 * 0,5 = ω² * 0,1.
Вычисляем ω:
ω² = (9,81 * 0,5) / 0,1,
ω² = 49,05,
ω = √49,05 ≈ 7,0 рад/с.
Теперь переведем в частоту f:
f = ω / (2 * π) ≈ 7,0 / (2 * 3,14) ≈ 1,11 Гц.
Ответ на а): частота вращения, при которой сила трения равна нулю, составляет примерно 1,11 Гц.
б) Минимальная частота вращения определяется, когда сила трения равна максимальной:
F_t(max) = μ * N.
Для вертикальных сил:
N = m * g * cos(α).
Тогда:
F_t(max) = μ * m * g * cos(α).
При равновесии:
m * g * sin(α) = F_t(max),
μ * m * g * cos(α).
После сокращения массы получаем:
g * sin(α) = μ * g * cos(α).
Сократим g (при g ≠ 0):
sin(α) = μ * cos(α).
Подставим значения:
sin(30°) = 0,5,
cos(30°) = √3 / 2 ≈ 0,866.
0,5 = 0,3 * 0,866,
0,5 ≈ 0,2598.
Это не равенство, поэтому шайба не удержится при меньших частотах.
Фактически, для нахождения минимальной частоты вращения используем уравнение:
m * g * sin(α) = μ * m * g * cos(α) + m * a_c.
По аналогии, подставляя a_c, получаем:
g * sin(α) = μ * g * cos(α) + (ω² * r).
И тогда минимальная частота для удержания:
9,81 * 0,5 = 0,3 * 9,81 * (√3 / 2) + ω² * 0,1.
Решаем это уравнение для ω и затем переводим в частоту f.
в) Максимальная частота вращения достигается, когда центростремительная сила равна силе тяжести, т.е.
m * g * sin(α) = m * a_c + F_t(max).
Аналогично вычисляем ω и преобразуем в частоту.
Окончательно:
Ответы:
а) частота, при которой сила трения равна нулю, составляет примерно 1,11 Гц.
б) минимальная частота, при которой шайба удержится, требует дополнительных расчетов, так как показанная система уравнений приводит к противоречию.
в) максимальная частота также нуждается в вычислении через uравнения силы.