Дано:
- масса шарика m (кг)
- длина нити L (м)
- ускорение свободного падения g = 9,81 м/с²
Найти:
1. Угол θ между нитью и вертикалью в момент, когда ускорение шарика направлено горизонтально.
2. Скорость v шарика в этот момент.
3. Силу натяжения T нити.
Решение:
1. Для того чтобы понять, когда ускорение шарика направлено горизонтально, необходимо заметить, что это происходит, когда сила тяжести mg и компонент силы натяжения T образуют равновесие по вертикали.
2. Рассмотрим силы, действующие на шарик в момент, когда он отклонён под углом θ.
- Вертикальная компонента сил: T * cos(θ) = mg.
- Горизонтальная компонента сил: T * sin(θ) = m * a_h, где a_h – горизонтальное ускорение.
3. Условие, при котором ускорение шарика направлено горизонтально, означает, что вертикальная составляющая силы натяжения уравновешивает силу тяжести:
T * cos(θ) = mg.
4. В то же время, сила натяжения также создает центростремительное ускорение для шарика, который движется по круговой траектории:
a_c = v² / L, следовательно:
T * sin(θ) = m * (v² / L).
5. Из первого уравнения выразим T:
T = mg / cos(θ).
6. Подставим это значение T во второе уравнение:
(mg / cos(θ)) * sin(θ) = m * (v² / L).
7. Упростим уравнение:
g * tan(θ) = (v² / L).
Таким образом, мы имеем:
v² = g * L * tan(θ).
8. Когда ускорение шарика направлено горизонтально, то угол θ можно найти из условия:
tan(θ) = a_c / g = (v² / L) / g.
9. Подставляем v²:
tan(θ) = (g * L * tan(θ)) / (g * L) = tan(θ).
10. Таким образом, когда скорость шарика достигает некоторого значения, угол θ будет соответствовать некоторому значению времени t, но при максимальном отклонении, угол будет равен 45 градусов.
Теперь найдем скорость и силу натяжения:
11. При угле 45 градусов:
tan(θ) = 1, следовательно:
v² = g * L.
12. Тогда:
v = √(g * L).
13. Подставив v в уравнение для T:
T = mg / cos(45°) = mg / (√2/2) = mg√2.
Ответ:
1. Угол θ между нитью и вертикалью равен 45 градусов.
2. Скорость шарика v = √(g * L).
3. Сила натяжения T = mg√2.