Дано:
- длина пружины L (в метрах)
- жёсткость пружины k (в Н/м)
- угол между половинами пружины 120°
Найти:
а) удлинение каждой половины пружины
б) силу упругости одной половины пружины
в) массу груза
Решение:
1. Рассмотрим, что пружина делится на две равные половины. Так как угол между ними равен 120°, то угол между каждой половиной и вертикалью составляет 60°.
2. Обозначим удлинение каждой половины пружины как x. Поскольку пружина изначально не была деформирована, её первоначальная длина составит L. После подвешивания груза каждая половина пружины будет иметь длину L/2 + x.
3. В результате угла в 120° получается, что горизонтальная компонента силы у нас будет равна:
L/2 * sin(60°) = (L/2) * (√3 / 2) = L√3 / 4.
4. Теперь применим закон Гука для одной половины пружины:
F = k * x.
5. С учетом равновесия системы, горизонтальная компонента силы упругости будет равна весу груза:
F = m * g,
где g - ускорение свободного падения (g ≈ 9.81 м/с²).
6. Учитывая, что система находится в равновесии, мы можем записать:
k * x = m * g.
7. Каждая половина пружины формирует угол 60° с вертикалью. Проекция силы упругости на вертикальную ось будет равна:
F_y = 2 * F * cos(60°) = 2 * (k * x) * (1/2) = k * x.
8. Условие равновесия по вертикали:
m * g = k * x.
Теперь найдем удлинение x. У нас есть два уравнения:
k * x = m * g и k * x = L√3 / 4.
Из первого уравнения выразим массу:
m = (k * x) / g.
Таким образом, каждая половина пружины удлиняется на x.
а) Удлинение каждой половины пружины:
x = (L√3 / 4) / k.
б) Сила упругости одной половины пружины:
F = k * x = k * [(L√3 / 4) / k] = L√3 / 4.
в) Теперь найдём массу груза:
m = (k * x) / g = k * [(L√3 / 4) / k] / g = (L√3 / 4g).
Ответы:
а) удлинение каждой половины пружины равно x = (L√3 / 4) / k.
б) сила упругости одной половины пружины равна F = L√3 / 4.
в) масса груза равна m = (L√3 / 4g).