Дано:
- сторона аквариума a (в СИ, в м)
- плотность воды ρ (в СИ, в кг/м³)
- ускорение свободного падения g (в СИ, в м/с²)
Найти:
1. Сила давления воды на дно аквариума.
2. Сила давления воды на стенку аквариума.
Решение:
1. Сила давления на дно аквариума:
Давление на дне аквариума определяется как:
P_dno = ρ * g * h,
где h = a — глубина воды (в данном случае высота аквариума).
Подставляем значение:
P_dno = ρ * g * a.
Сила давления на дно F_dno равна произведению давления на площадь дна:
S_dno = a²,
F_dno = P_dno * S_dno = (ρ * g * a) * (a²) = ρ * g * a³.
2. Сила давления на стенку аквариума:
Давление на стенке аквариума также зависит от глубины, но для каждой высоты будет различным.
Для расчета силы давления на вертикальной стенке аквариума используем интеграл:
В общем виде давление на уровне y равно:
P_stena(y) = ρ * g * y.
Площадь dS на высоте y с шириной dx и высотой dy будет равна:
dS = dx * dy.
Сила dF на элементе стены:
dF = P_stena(y) * dS = (ρ * g * y) * (dx * dy).
Интегрируем по высоте от 0 до a и по ширине от 0 до a:
F_stena = ∫[0,a] ∫[0,a] (ρ * g * y) * dx * dy.
Упрощая, получаем:
F_stena = ρ * g * ∫[0,a] (y) * dy * ∫[0,a] dx.
Интеграл по dx дает a:
∫[0,a] dx = a.
Теперь вычислим интеграл по dy:
∫[0,a] y dy = [y²/2] от 0 до a = a²/2.
Подставляем в формулу:
F_stena = ρ * g * (a² / 2) * a = (ρ * g * a³) / 2.
Ответ:
1. Сила давления воды на дно аквариума:
F_dno = ρ * g * a³.
2. Сила давления воды на стенку аквариума:
F_stena = (ρ * g * a³) / 2.