Дано:
- Отношение зарядов q1/q2 = 2.
- Кинетические энергии частиц одинаковы: E1 = E2.
- Отношение радиусов траекторий R2/R1 = 0.5.
Найти:
а) Отношение масс частиц m1/m2.
б) Отношение модулей импульсов частиц p1/p2.
Решение:
а)
Кинетическая энергия E выражается через массу и скорость:
E = (1/2)mv^2.
Поскольку E1 = E2, имеем:
(1/2)m1*v1^2 = (1/2)m2*v2^2.
Упрощая, получаем:
m1*v1^2 = m2*v2^2.
Теперь для движения в магнитном поле радиус R можно выразить через массу, заряд и скорость:
R = mv / (qB).
Таким образом, можем выразить скорость v через радиус R:
v = (qBR) / m.
Подставляем это выражение для v в уравнение кинетической энергии:
m1 * ((q1*B*R1)/m1)^2 = m2 * ((q2*B*R2)/m2)^2.
Сократив B и подставив R2 = 0.5R1, получим:
m1 * (q1^2 * R1^2 / m1^2) = m2 * (q2^2 * (0.5R1)^2 / m2^2).
Упростим это уравнение:
m1 * (q1^2 * R1^2 / m1^2) = m2 * (q2^2 * (0.25 R1^2) / m2^2).
Сократим R1^2:
m1 * q1^2 = (0.25 * m2 * q2^2).
Теперь подставим q1/q2 = 2:
m1 * (2q2)^2 = 0.25 * m2 * q2^2.
Упрощаем:
m1 * 4q2^2 = 0.25 * m2 * q2^2.
Сократим q2^2:
m1 * 4 = 0.25 * m2,
m1 / m2 = 0.25 / 4 = 0.0625.
Ответ:
a) Отношение масс частиц m1/m2 = 0.0625.
б)
Импульс p выражается как:
p = mv.
Для двух частиц:
p1 = m1*v1,
p2 = m2*v2.
Из предыдущего уравнения m1*v1^2 = m2*v2^2 и выражения для скорости v:
p1^2/m1 = E,
p2^2/m2 = E,
где E - кинетическая энергия.
Следовательно:
p1^2 = E*m1,
p2^2 = E*m2.
Тогда отношение модулей импульсов:
p1/p2 = sqrt(m1/m2).
Подставляя найденное отношение масс:
p1/p2 = sqrt(0.0625) = 0.25.
Ответ:
б) Отношение модулей импульсов частиц p1/p2 = 0.25.