дано:
- смещение от положения равновесия x = 4 см = 0,04 м
- амплитуда A = 4 см = 0,04 м
- начальная скорость при x = 4 см равна нулю (груз в самом верхнем положении)
найти:
а) долю периода Т, за которую груз пройдет первые два сантиметра пути
б) долю периода Т, за которую груз пройдет вторые два сантиметра пути
решение:
1. Уравнение гармонических колебаний:
x(t) = A sin(ωt).
2. Найдем угловую частоту ω. Поскольку период не указан, но независим от движения, его значение можно учитывать как T. Тогда:
ω = 2π / T.
3. Определим время t1, когда груз проходит 2 см (0,02 м):
x(t1) = 2 см = 0,02 м.
Подставим в уравнение:
0,02 = 0,04 sin(ωt1).
4. Разделим обе стороны на 0,04:
0,5 = sin(ωt1).
5. Найдем углы, при которых синус равен 0,5. Это происходит, когда:
ωt1 = π/6 + 2kπ или ωt1 = 5π/6 + 2kπ.
6. Рассмотрим первое значение (для первой половины пути):
ωt1 = π/6.
t1 = (π/(6ω)) = (π/(6 * (2π/T))) = T/12.
7. Таким образом, для первых двух сантиметров пути:
доля периода = t1 / T = 1/12.
8. Теперь найдем время t2, когда груз проходит 4 см:
x(t2) = 4 см = 0,04 м.
Но мы ищем вторые 2 см, поэтому нам нужно узнать, сколько времени пройдет, чтобы пройти от 2 до 4 см:
t2 = T/12 + dT.
dT - дополнительное время.
9. Для полного прохода от 2 см до 4 см:
x(t2) = 0,04 = 0,04 sin(ωt2).
Это означает, что sin(ωt2) = 1.
10. Таким образом, время t2 будет равно:
ωt2 = π/2,
t2 = (π/(2ω)) = (π/(2 * (2π/T))) = T/4.
11. Разница между t1 и t2:
dT = T/4 - T/12 = T/6.
12. Доля периода для вторых двух сантиметров:
доля периода = dT / T = 1/6.
Ответ:
а) Груз пройдет первые два сантиметра пути за 1/12 периода Т.
б) Груз пройдет вторые два сантиметра пути за 1/6 периода Т.