дано:
N_0 = 8000 атомов,
N(распад) = 7500 атомов,
t = 12 ч = 12 * 3600 с = 43200 с.
найти:
период полураспада t_1/2.
решение:
Сначала найдем количество оставшихся атомов после распада:
N(t) = N_0 - N(распад) = 8000 - 7500 = 500 атомов.
Теперь используем закон распада:
N(t) = N_0 * e^(-λt).
Делим обе стороны на N_0:
500 = 8000 * e^(-λ * 43200).
Теперь делим обе стороны на 8000:
500 / 8000 = e^(-λ * 43200),
1 / 16 = e^(-λ * 43200).
Теперь берем натуральный логарифм обеих сторон:
ln(1 / 16) = -λ * 43200.
Так как ln(1 / 16) = ln(16^(-1)) = -ln(16), то у нас получается:
-ln(16) = -λ * 43200.
λ = ln(16) / 43200.
Теперь вычислим значение λ.
ln(16) = ln(2^4) = 4 * ln(2) ≈ 4 * 0.693147 ≈ 2.772588.
Теперь подставляем значение в формулу для λ:
λ = 2.772588 / 43200.
Теперь воспользуемся формулой для нахождения периода полураспада:
t_1/2 = ln(2) / λ.
Теперь подставим значение λ:
t_1/2 = ln(2) / (2.772588 / 43200) = 43200 * ln(2) / 2.772588.
Вычислим:
t_1/2 = 43200 * 0.693147 / 2.772588 ≈ 43200 * 0.250000 ≈ 10800 с.
Чтобы перевести в часы, делим на 3600:
t_1/2 ≈ 10800 / 3600 = 3 ч.
ответ:
Период полураспада данного радиоактивного изотопа составляет примерно 3 часа.