Дано:
- Масса Земли (M1) = 5.972 × 10^24 кг
- Масса Луны (M2) = M1 / 81 = (5.972 × 10^24) / 81 ≈ 7.36 × 10^22 кг
- Расстояние между центрами Земли и Луны (d) ≈ 3.84 × 10^8 м
Найти: расстояние от центра Земли (x), где силы тяготения равны.
Решение:
Сила тяготения F1 со стороны Земли на объект массой m:
F1 = G * M1 * m / r1^2, где r1 = x
Сила тяготения F2 со стороны Луны на тот же объект:
F2 = G * M2 * m / r2^2, где r2 = d - x
Условие равенства сил:
F1 = F2
Тогда:
G * M1 * m / x^2 = G * M2 * m / (d - x)^2
Сокращаем G и m:
M1 / x^2 = M2 / (d - x)^2
Подставим M2:
M1 / x^2 = (M1 / 81) / (d - x)^2
Упрощаем уравнение:
81 * M1 / x^2 = M1 / (d - x)^2
Сокращаем M1:
81 / x^2 = 1 / (d - x)^2
Перемножим:
81 * (d - x)^2 = x^2
Раскроем скобки:
81 * (d^2 - 2dx + x^2) = x^2
81d^2 - 162dx + 81x^2 = x^2
Переносим все в одну сторону:
80x^2 - 162dx + 81d^2 = 0
Это квадратное уравнение в виде:
a = 80, b = -162d, c = 81d^2
Решаем его по формуле:
x = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)] / 2a
Находим дискриминант:
D = (-162d)^2 - 4 * 80 * 81d^2
D = 26244d^2 - 25920d^2
D = 324d^2
Теперь подставляем значения:
x = [162d ± sqrt(324d^2)] / 160
Поскольку sqrt(324d^2) = 18d, получаем два возможных решения:
x1 = [162d + 18d] / 160 = 180d / 160 = 1.125d
x2 = [162d - 18d] / 160 = 144d / 160 = 0.9d
Так как x должно быть меньше d, выбираем:
x = 0.9d
Теперь подставим d (расстояние между Землёй и Луной):
x = 0.9 * 3.84 × 10^8 м ≈ 3.456 × 10^8 м
Ответ:
Расстояние от центра Земли до точки равновесия сил тяготения равно примерно 3.456 × 10^8 м.