Дано:
вектор a = {3; 0},
вектор b = {4; 4}.
Найти:
1) скалярное произведение векторов a и b;
2) абсолютную величину векторов a и b;
3) угол между векторами a и b.
Решение:
1) Скалярное произведение векторов a и b вычисляется по формуле:
a · b = a1 * b1 + a2 * b2.
Подставим значения:
a · b = 3 * 4 + 0 * 4.
Вычислим:
a · b = 12 + 0 = 12.
2) Абсолютная величина (длина) вектора a вычисляется по формуле:
|a| = sqrt(a1^2 + a2^2).
Для вектора a:
|a| = sqrt(3^2 + 0^2) = sqrt(9 + 0) = sqrt(9) = 3.
Для вектора b:
|b| = sqrt(b1^2 + b2^2).
|b| = sqrt(4^2 + 4^2) = sqrt(16 + 16) = sqrt(32) = 4sqrt(2).
3) Угол между векторами a и b можно найти по формуле:
cos(φ) = (a · b) / (|a| * |b|).
Подставим значения:
cos(φ) = 12 / (3 * 4sqrt(2)) = 12 / (12sqrt(2)) = 1/sqrt(2).
Теперь найдем угол φ:
φ = arccos(1/sqrt(2)) = 45°.
Ответ:
1) Скалярное произведение a · b = 12.
2) Абсолютная величина |a| = 3, |b| = 4sqrt(2).
3) Угол между векторами a и b равен 45°.
Проверка:
Отложив векторы a и b от начала координат, вектор a будет находиться на оси X в точке (3, 0), а вектор b — в точке (4, 4). Угол между ними визуально составляет 45°, что подтверждает расчет.