Дано:
Диагональ AC = 4 см.
Большее основание AB = 8 см.
Угол ABC = 110°.
Угол BAC = 30°.
Найти:
Длину стороны CD.
Решение:
1. Рассмотрим треугольник ABC. Используем закон синусов для нахождения стороны BC.
По закону синусов:
AB / sin(C) = AC / sin(B) = BC / sin(A).
2. Углы треугольника ABC:
∠C = 180° - ∠ABC - ∠BAC = 180° - 110° - 30° = 40°.
Таким образом,
sin(A) = sin(30°) = 0.5,
sin(B) = sin(110°) ≈ 0.9397,
sin(C) = sin(40°) ≈ 0.6428.
3. По закону синусов:
AB / sin(C) = AC / sin(B).
8 / 0.6428 = 4 / 0.9397.
4. Теперь найдем BC:
BC = (AC * sin(C)) / sin(B) = (4 * 0.6428) / 0.9397 ≈ 2.74 см.
5. Теперь находим сторону CD. Для этого используем формулу для площади трапеции. Площадь ABCD можно выразить через основания и высоту.
Площадь = (AB + BC) * h / 2, где h — высота трапеции.
6. Найдем высоту h через треугольник ABC:
h = AC * sin(∠BAC) = 4 * sin(30°) = 4 * 0.5 = 2 см.
7. Теперь подставим значения в формулу площади:
Площадь = (8 + 2.74) * 2 / 2 = 10.74 см².
8. Сторона CD можно выразить через известные основания и высоту:
CD = 2 * Площадь / h - AB = 2 * 10.74 / 2 - 8 = 10.74 - 8 = 2.74 см.
Ответ:
Сторона CD = 2.74 см.