Дано:
Объем конуса: V = 36π,
Радиус основания: R = 2h, где h - высота конуса.
Найти:
Высоту конуса.
Решение:
Объем конуса можно выразить через формулу V = (1/3) * π * R^2 * h, где R - радиус основания, h - высота конуса. Подставим известные значения и получим:
36π = (1/3) * π * (2h)^2 * h.
Упростим выражение:
36 = (1/3) * 4h^2 * h,
36 = (4/3) * h^3.
Переместим все в одну часть уравнения:
(4/3) * h^3 - 36 = 0.
Факторизуем уравнение:
(2h - 6)(2h^2 + 6h + 6^2) - 36 = 0.
Решим квадратное уравнение (2h^2 + 6h + 6^2 = 0) по формуле дискриминанта:
D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4(2)(6^2) = 36 - 144 = -108.
Так как дискриминант отрицательный, то у квадратного уравнения нет действительных корней. Значит, уравнение (2h^2 + 6h + 6^2) - 36 = 0 не имеет решений.
Остается единственное решение для уравнения (2h - 6)(2h^2 + 6h + 6^2) - 36 = 0:
2h - 6 = 0.
Решаем это уравнение:
2h = 6,
h = 3.
Ответ:
Высота конуса равна 3.