Дано:
- Радиус основания конуса увеличился в 2 раза (r' = 2r).
- Высота конуса увеличилась в 2 раза (h' = 2h).
Найти:
Во сколько раз увеличилась площадь боковой поверхности конуса (K).
Решение:
1. Площадь боковой поверхности конуса рассчитывается по формуле:
S_b = π * r * l,
где l — образующая конуса, которую можно найти по формуле:
l = √(r² + h²).
2. Выражим площадь боковой поверхности исходного конуса:
S_b = π * r * √(r² + h²).
3. Найдем площадь боковой поверхности нового конуса с увеличенными размерами:
S_b' = π * r' * l',
где r' = 2r и l' = √((2r)² + (2h)²).
4. Подставим значения:
l' = √((2r)² + (2h)²)
= √(4r² + 4h²)
= 2√(r² + h²).
5. Теперь подставим радиус и новую образующую в формулу для площади:
S_b' = π * (2r) * (2√(r² + h²))
= 4π * r * √(r² + h²).
6. Теперь найдем отношение новой площади к старой площади:
K = S_b' / S_b
= (4π * r * √(r² + h²)) / (π * r * √(r² + h²))
= 4.
Ответ:
Площадь боковой поверхности конуса увеличилась в 4 раза.