Дано:
Площадь треугольника S = 25 см².
Найти:
Длину окружности C и площадь круга P.
Решение:
1. Обозначим радиус окружности как R. Поскольку основание треугольника является диаметром окружности, то:
D = 2R.
2. Для равнобедренного треугольника, вписанного в окружность, высота h, проведенная из вершины к основанию, делит основание на две равные части. Площадь треугольника можно выразить через основание и высоту:
S = (1/2) * основание * h.
3. В данном случае основание равно диаметру окружности:
основание = D = 2R.
4. Подставим это значение в формулу площади:
S = (1/2) * 2R * h = R * h.
5. Теперь выразим высоту h через радиус R:
h = S / R = 25 / R.
6. Для равнобедренного треугольника с основанием, равным диаметру, высота h также равна:
h = sqrt(R^2 - (R^2/4)) = sqrt(R^2/4) = R/2.
7. Приравняем два выражения для высоты h:
25 / R = R / 2.
8. Умножим обе стороны на 2R:
50 = R^2.
9. Найдем радиус R:
R = sqrt(50) = 5sqrt(2) см.
10. Теперь найдем длину окружности C:
C = 2πR = 2π * 5sqrt(2) = 10πsqrt(2) см.
11. Найдем площадь круга P:
P = πR^2 = π * (50) = 50π см².
Ответ:
Длина окружности C = 10πsqrt(2) см.
Площадь круга P = 50π см².