Дано:
Длина окружности C = 16π.
Найти:
а) длину дуги ABD;
б) площадь треугольника AOD;
в) длину диагонали AD.
Решение:
1. Находим радиус окружности. Длина окружности C определяется по формуле:
C = 2πR.
Подставим известное значение:
16π = 2πR.
Разделим обе стороны на 2π:
R = 8.
2. Теперь находим угол AOB, соответствующий дуге ABD. В правильном девятиугольнике каждый центральный угол равен:
α = 360° / 9 = 40°.
3. Дуга ABD включает два центральных угла: AOB и BOC. Поскольку угол AOB равен 40°, длина дуги ABD будет равна:
длина дуги = (α / 360°) * C.
Для дуги ABD:
длина дуги ABD = (80° / 360°) * 16π = (2/9) * 16π = (32/9)π.
4. Теперь найдем площадь треугольника AOD. Площадь треугольника можно выразить через радиус и центральный угол:
S = (1/2) * R^2 * sin(α).
Подставим значения:
S = (1/2) * 8^2 * sin(40°) = (1/2) * 64 * sin(40°) = 32 * sin(40°).
5. Далее найдем длину диагонали AD. Для правильного девятиугольника длина диагонали между вершинами, находящимися на расстоянии 4 вершины друг от друга, рассчитывается по формуле:
AD = R * sqrt(2 - 2 * cos(4α)).
Здесь α = 40°, следовательно, 4α = 160°.
Используем формулу косинуса:
AD = 8 * sqrt(2 - 2 * cos(160°)).
Значение cos(160°) равно -cos(20°), поэтому:
AD = 8 * sqrt(2 + 2 * cos(20°)).
Теперь подставим значение:
AD ≈ 8 * sqrt(2 + 2 * 0.9397) ≈ 8 * sqrt(3.8794) ≈ 8 * 1.9697 ≈ 15.76.
Ответ:
а) длина дуги ABD = (32/9)π;
б) площадь треугольника AOD = 32 * sin(40°);
в) длина диагонали AD ≈ 15.76.