Дано:
Длина вектора BC = 4,
Угол ∠A = 67,5°.
Найти:
Скалярное произведение векторов BA и BC.
Решение:
Скалярное произведение векторов можно найти по формуле:
BA • BC = |BA| * |BC| * cos(∠ABC).
Так как треугольник ABC равнобедренный, углы ∠B и ∠C равны. Угол ∠ABC можно найти следующим образом:
∠ABC = (180° - ∠A) / 2 = (180° - 67,5°) / 2 = 112,5° / 2 = 56,25°.
Теперь нам нужно найти длину вектора BA. Мы можем использовать закон косинусов для треугольника ABC. Известно, что AB = AC (так как треугольник равнобедренный), обозначим длину AB как x.
По закону косинусов:
BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 * AB * AC * cos(∠A).
Подставим известные значения:
4^2 = x^2 + x^2 - 2 * x * x * cos(67,5°).
Упрощаем:
16 = 2x^2 - 2x^2 * cos(67,5°).
Выразим x^2:
16 = 2x^2(1 - cos(67,5°)).
Теперь найдем cos(67,5°):
cos(67,5°) ≈ 0.3827 (значение можно взять из таблиц или калькулятора).
Подставим это значение в уравнение:
16 = 2x^2(1 - 0.3827) = 2x^2 * 0.6173.
Теперь решим это уравнение:
16 = 1.2346x^2,
x^2 = 16 / 1.2346,
x^2 ≈ 12.95.
Теперь найдем длину вектора BA:
|BA| = sqrt(12.95) ≈ 3.6.
Теперь подставим все значения в формулу скалярного произведения:
BA • BC = |BA| * |BC| * cos(∠ABC).
Подставим известные значения:
BA • BC = 3.6 * 4 * cos(56,25°).
Теперь найдем cos(56,25°):
cos(56,25°) ≈ 0.5547.
Теперь подставим это значение:
BA • BC = 3.6 * 4 * 0.5547.
Вычислим:
BA • BC ≈ 3.6 * 4 * 0.5547 ≈ 7.99.
Ответ:
Скалярное произведение векторов BA и BC примерно равно 7.99.