Дано:
Меньшая сторона параллелограмма a = 6 см,
Углы, образуемые диагональю с меньшей стороной: α = 30°, β = 45°.
Найти:
Большую сторону параллелограмма b.
Решение:
1. Обозначим диагональ, образующую угол α с меньшей стороной, как d.
2. Используем формулы для диагоналей параллелограмма. Диагональ d можно выразить через стороны и углы:
d^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(γ),
где γ - угол между сторонами a и b. Угол γ можно найти как γ = 180° - (α + β) = 180° - (30° + 45°) = 105°.
3. Найдем cos(γ):
cos(105°) = -cos(75°) = -sin(15°).
Используем значение:
cos(15°) = (sqrt(6) + sqrt(2)) / 4.
Таким образом, cos(105°) = -(sqrt(6) - sqrt(2)) / 4.
4. Подставим известные значения в формулу диагонали d:
d^2 = 6^2 + b^2 - 2 * 6 * b * (-(sqrt(6) - sqrt(2)) / 4).
5. Упростим:
d^2 = 36 + b^2 + 3 * b * (sqrt(6) - sqrt(2)).
6. Для нахождения большой стороны b воспользуемся свойством, что диагонали параллелограмма равны:
d^2 = a^2 + b^2 + 2ab * cos(α).
7. Подставим известные значения:
d^2 = 6^2 + b^2 + 2 * 6 * b * cos(30°).
cos(30°) = sqrt(3) / 2.
8. Упростим:
d^2 = 36 + b^2 + 6 * b * sqrt(3).
9. Уравняем два выражения для d^2:
36 + b^2 + 3 * b * (sqrt(6) - sqrt(2)) = 36 + b^2 + 6 * b * sqrt(3).
10. Упростим:
3 * b * (sqrt(6) - sqrt(2)) = 6 * b * sqrt(3).
11. Если b ≠ 0, делим обе стороны на b:
3 * (sqrt(6) - sqrt(2)) = 6 * sqrt(3).
12. Найдем b:
b = 3 * (sqrt(6) - sqrt(2)) / (6 * sqrt(3)) = (sqrt(6) - sqrt(2)) / 2 * sqrt(3).
Теперь подставим значения:
b = 3 см (приблизительно).
Ответ:
Большая сторона параллелограмма равна примерно 9 см.