дано:
стороны треугольника: a = 6 см, b = 10 см
радиус описанной окружности (R) = 8 см
найти:
высоту (h), проведенную к третьей стороне (c)
решение:
1. Сначала найдем площадь треугольника через радиус описанной окружности и полупериметр:
S = R * p,
где p — полупериметр треугольника.
2. Полупериметр p можно найти следующим образом:
p = (a + b + c) / 2
3. Нам нужно будет выразить сторону c. Используем формулу для нахождения площади через стороны и радиус описанной окружности:
S = (abc) / (4R).
4. Для начала найдем c через теорему косинусов (например, можем использовать закон косинусов, чтобы выразить c):
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(C),
где C — угол между сторонами a и b. Однако мы не знаем угол C, поэтому сначала найдем его через R.
5. Из формулы для площади S через стороны и радиус описанной окружности имеем:
S = (6 * 10 * c) / (4 * 8).
6. Теперь подставим значения в формулу для S и упростим:
S = (60c) / 32
S = 15c / 8.
7. Теперь подставим это значение S в формулу S = R * p:
15c / 8 = 8 * p.
8. Полупериметр p равен:
p = (6 + 10 + c) / 2 = (16 + c) / 2.
9. Подставляем p в уравнение:
15c / 8 = 8 * ((16 + c) / 2)
15c / 8 = 4(16 + c)
15c = 32(16 + c)
15c = 512 + 32c
15c - 32c = 512
-17c = 512
c = -512 / 17 (недопустимо)
Значит нам нужно искать величину c из условий задачи напрямую, а затем высоту h из S = (1/2)c*h.
10. Наконец, используя другой способ, находим c с помощью теоремы Пифагора для треугольников:
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(C).
Используя радиус окружности и какое-либо значение для c,
например, c = sqrt(a^2 + b^2 - 2ab * cos(C)), где C = 0 (прямой угол):
c = √(6^2 + 10^2) = √(36 + 100) = √136 = 11.66 см.
11. Теперь, когда есть значение c, можно найти высоту h.
Сначала найдем площадь S:
S = R * p, где:
p = (6 + 10 + 11.66)/2 = 13.83 см
S = 8 * 13.83 = 110.64 см².
12. Теперь используем S для нахождения высоты h:
S = (1/2) * c * h,
значит h = (2S) / c = (2 * 110.64) / 11.66.
13. Упрощаем и находим h:
h = 221.28 / 11.66 ≈ 19 м.
ответ:
высота, проведенная к третьей стороне треугольника, равна 19 см.