Дано:
- Стороны треугольника: a = 6 м, b = 8 м.
- Медиана, проведённая к третьей стороне (c), равна m_c = 5 м.
Найти:
- Радиус окружности, описанной около треугольника: R.
Решение:
1. Используем формулу для нахождения длины медианы m_c в треугольнике:
m_c = (1/2) * sqrt(2a^2 + 2b^2 - c^2).
2. Подставим известные значения:
5 = (1/2) * sqrt(2*6^2 + 2*8^2 - c^2).
3. Упростим выражение:
5 * 2 = sqrt(2*36 + 2*64 - c^2),
10 = sqrt(72 + 128 - c^2),
10^2 = 72 + 128 - c^2,
100 = 200 - c^2,
c^2 = 200 - 100 = 100,
c = √100 = 10 м.
4. Теперь найдем радиус окружности, описанной около треугольника, используя формулу:
R = (abc) / (4S),
где S - площадь треугольника и можно найти по формуле Герона.
5. Сначала найдем полупериметр p:
p = (a + b + c) / 2 = (6 + 8 + 10) / 2 = 12 м.
6. Найдем площадь S по формуле Герона:
S = sqrt(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)) =
sqrt(12 * (12 - 6) * (12 - 8) * (12 - 10)) =
sqrt(12 * 6 * 4 * 2) =
sqrt(576) = 24 м².
7. Теперь подставим значения в формулу для R:
R = (6 * 8 * 10) / (4 * 24) =
R = 480 / 96 = 5 м.
Ответ:
Радиус окружности, описанной около треугольника, равен 5 м.