дано:
площадь треугольника ABR = 2
площадь треугольника ADP = 7
найти:
площадь трапеции ABCD
решение:
1. Поскольку диагонали трапеции пересекаются в точке P, их точки делят каждую диагональ на два отрезка, которые пропорциональны площадям треугольников, образованных этими отрезками.
2. Обозначим площади треугольников BCP и CDP как S(BCP) и S(CDP) соответственно. Тогда по свойству площади треугольников имеем следующие соотношения:
S(ABR) / S(ADP) = S(BCP) / S(CDP).
3. Подставим известные значения:
2 / 7 = S(BCP) / S(CDP).
4. Обозначим площадь треугольника BCP через k. Тогда:
S(BCP) = k,
S(CDP) = (7/2) * k.
5. Теперь найдем площадь трапеции ABCD. Площадь трапеции равна сумме площадей четырех треугольников:
S(ABCD) = S(ABR) + S(ADP) + S(BCP) + S(CDP).
6. Подставим выражения для площадей:
S(ABCD) = 2 + 7 + k + (7/2) * k = 9 + (9/2) * k.
7. Теперь найдем значение k. Мы знаем, что сумма площадей всех треугольников, образованных диагоналями, должна удовлетворять следующему уравнению:
S(ABR) + S(ADP) + S(BCP) + S(CDP) = 2 + 7 + k + (7/2) * k = 9 + (9/2) * k.
8. Из условия о пропорциях видно, что если S(BCP) = 2x, то S(CDP) = 7x. Таким образом можем выразить k:
k = 2x и 7x = (7/2) * 2x.
9. Теперь подставим значение k в формулу для площади трапеции и упростим:
S(ABCD) = 9 + (9/2) * k,
где k = 4, поэтому:
S(ABCD) = 9 + (9/2) * 4 = 9 + 18 = 27.
ответ:
площадь трапеции ABCD равна 27.