дано:
треугольник BCD с медианами BM и DN, которые пересекаются в точке O.
найти:
отношение площадей треугольников CMN и BON.
решение:
1. Медианы делят треугольник на четыре меньших треугольника, площади которых равны между собой. Каждая медиана делит треугольник на два меньших треугольника с равными площадями.
2. Площадь треугольника BCD делится медианами на 6 равных частей:
S(BCD) = S(BON) + S(CON) + S(CMB) + S(CMD).
3. Поскольку точки O являются центрами масс, то отношение площадей треугольников, которые имеют общую вершину и основание, находящееся на одной стороне от этой вершины, будет равно.
4. Это значит, что площади треугольников BON и CMN также будут в определенном отношении.
5. Поскольку каждая медиана делит треугольник на две равные части, то S(BON) будет равна 1/3 площади треугольника BOC, а S(CMN) будет равна 1/3 площади треугольника CDO.
6. Таким образом, площадь треугольника BON составляет 1/6 всей площади BCD, а площадь треугольника CMN также составляет 1/6 всей площади BCD.
7. Следовательно, отношение площадей S(CMN) к S(BON) будет равно:
S(CMN) / S(BON) = (1/6) / (1/6) = 1.
ответ:
отношение площадей треугольников CMN и BON равно 1.