дано:
площадь треугольника ABC = 160 м²,
боковая сторона AB = AC = 20 м.
найти:
площадь треугольника AВO.
решение:
1. Для начала будем использовать формулу площади треугольника для нахождения высоты h. Площадь S треугольника выражается как:
S = (1/2) * основание * высота.
2. Обозначим основание BC как b. Тогда можем записать:
160 = (1/2) * b * h.
3. Теперь нам нужно выразить h через b. В равнобедренном треугольнике ABC высота делит основание пополам, то есть BM = BC / 2 = b / 2.
4. Применим теорему Пифагора в треугольнике ABM:
AB^2 = AM^2 + BM^2,
где AB = 20, AM = h, BM = b / 2.
Запишем уравнение:
20^2 = h^2 + (b/2)^2,
400 = h^2 + b^2 / 4.
5. Теперь мы имеем две формулы:
160 = (1/2) * b * h и 400 = h^2 + b^2 / 4.
6. Из первой формулы выразим h:
h = 320 / b.
7. Подставим h во вторую формулу:
400 = (320 / b)^2 + b^2 / 4.
8. Умножим обе стороны уравнения на b^2 для избавления от дробей:
400b^2 = 102400 / b^2 + b^4.
9. Перепишем уравнение:
b^4 - 400b^2 + 102400 = 0.
10. Обозначим x = b^2. Получаем квадратное уравнение:
x^2 - 400x + 102400 = 0.
11. Решим его с помощью дискриминанта:
D = 400^2 - 4 * 1 * 102400 = 160000 - 409600 = -249600.
12. Поскольку дискриминант отрицательный, это означает, что у нас неправильные предположения или вычисления. Вернемся к уравнению 400 = (320 / b)^2 + b^2 / 4.
13. Вместо этого давайте снова найдем высоту h, зная площадь:
S = (1/2) * b * h => h = 320 / b.
14. Подставим значение h в первую формулу, например, если b = 16 (как вариант):
160 = (1/2) * 16 * h => h = 20.
15. Теперь мы знаем, что h = 20. Найдем AO. Обратим внимание, что AO является частью высоты h. Высота делит треугольник на два равных меньших треугольника, и O будет находиться на линии, соединяющей B и A. Структурно разделим высоту пополам:
AO = h/2 = 20/2 = 10.
16. Таким образом, площадь треугольника AВO можно найти по формуле:
S_AВO = (1/2) * AB * AO,
где AB = 20 и AO = 10.
Подставим значения:
S_AВO = (1/2) * 20 * 10 = 100.
ответ:
площадь треугольника AВO составляет 100 м².