Дано:
В параллелограмме KMNP биссектрисы углов N и P пересекают стороны PK и MN в точках B и D соответственно. Угол PNB равен 48°.
Найти:
Величину угла PDN.
Решение:
В параллелограмме противоположные углы равны, а смежные углы являются дополнительными. Поэтому:
1. Угол KPN равен углу PNM (так как они противоположные углы):
∠KPN = ∠PNM.
2. Угол PNB это часть угла PNM, так что:
∠PNM = ∠PNB + ∠DNB,
где угол DNB также является частью угла PNM.
3. Поскольку биссектрисы углов N и P делят углы пополам, то:
∠DNP = ∠PNM / 2,
∠DNB = ∠PNB / 2.
4. Подставим известное значение:
∠DNB = 48° / 2 = 24°.
5. Так как угол PDN является дополнением к углу DNB в треугольнике PND:
∠PDN = 180° - (∠DNB + ∠DNP).
6. Найдем угол DNP:
∠DNP = ∠PNM / 2 = (∠PNB + ∠DNB) / 2.
Учитывая, что ∠PNB = 48° и ∠DNB = 24°, получаем:
∠DNP = (48° + 24°) / 2 = 72° / 2 = 36°.
7. Теперь подставим все значения в формулу для нахождения угла PDN:
∠PDN = 180° - (∠DNB + ∠DNP) = 180° - (24° + 36°) = 180° - 60° = 120°.
Ответ:
Величина угла PDN равна 120°.