Дано:
Стороны треугольника a = 11 см, b = 12 см, медиана m = 9.5 см.
Найти:
Косинус угла между сторонами a и b.
Решение:
Для нахождения косинуса угла между двумя сторонами треугольника можно воспользоваться формулой для длины медианы:
m^2 = (2a^2 + 2b^2 - c^2) / 4,
где c — третья сторона треугольника. Также мы можем использовать теорему косинусов, чтобы выразить cos(γ), где γ — угол между сторонами a и b.
1. Сначала подставим известные значения в формулу медианы:
9.5^2 = (2*11^2 + 2*12^2 - c^2) / 4.
2. Вычислим квадраты и подставим их:
90.25 = (2*121 + 2*144 - c^2) / 4.
3. Упростим выражение:
90.25 = (242 + 288 - c^2) / 4,
90.25 = (530 - c^2) / 4.
4. Умножим обе стороны на 4:
361 = 530 - c^2.
5. Переносим c^2 на левую сторону:
c^2 = 530 - 361,
c^2 = 169.
6. Извлекаем корень из обоих сторон:
c = 13 см.
Теперь у нас есть три стороны треугольника: a = 11 см, b = 12 см, c = 13 см.
7. Используем теорему косинусов, чтобы найти cos(γ):
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(γ).
8. Подставим известные значения:
13^2 = 11^2 + 12^2 - 2 * 11 * 12 * cos(γ).
9. Вычислим квадраты:
169 = 121 + 144 - 264 * cos(γ).
10. Упростим:
169 = 265 - 264 * cos(γ).
11. Переносим все на одну сторону:
264 * cos(γ) = 265 - 169,
264 * cos(γ) = 96.
12. Разделим обе стороны на 264:
cos(γ) = 96 / 264,
cos(γ) = 0.3636 (округленно).
Ответ:
Косинус угла между сторонами равен примерно 0.3636.