Дано: На плоскости отмечено 9 точек, соединенных попарно отрезками.
Найти: Может ли прямая, не проходящая ни через одну из отмеченных точек, пересекать ровно 20 отрезков?
Решение с подробными расчетами по имеющимся данным:
Общее количество отрезков, которое можно получить, соединяя 9 точек попарно, равно числу сочетаний из 9 по 2, то есть C(9,2) = 36.
Предположим, что прямая пересекает ровно 20 отрезков. Представим, что на этой прямой лежат 2 точки (их можно выбрать С(9,2) способами), обозначим их как A и B. Также предположим, что эти две точки делят остальные 7 точек пополам (через них проходит ось симметрии).
Теперь рассмотрим каждую из получившихся половинок точек. Каждая из них содержит 3 точки, и мы можем провести 3 отрезка между ними. Всего для обеих половинок мы можем провести 6 отрезков.
Итак, учитывая 2 отрезка AB и 6 отрезков внутри каждой половинки, общее количество пересекаемых отрезков составит 8, что меньше 20.
Следовательно, прямая, не проходящая ни через одну из отмеченных точек, не может пересекать ровно 20 отрезков.
Ответ: Прямая, не проходящая через ни одну из отмеченных точек, не может пересечь ровно 20 отрезков.