Дано: Прямая, не проходящая ни через одну из отмеченных точек, пересекает 21 отрезок.
Найти: Чему может быть равно число отмеченных точек?
Решение с подробными расчетами:
Предположим, что у нас есть n отмеченных точек. Тогда общее количество отрезков, которые можно провести между этими точками, равно числу сочетаний из n по 2, то есть C(n,2) = n*(n-1)/2.
Поскольку прямая пересекает 21 отрезок, значит она пересекает 21 разделенную ею область на n+1 часть, где n - количество точек.
Каждая из этих частей образует треугольник. Обозначим за k количество пересечений прямой с внутренними сторонами этих треугольников.
Прямая пересекает каждую из n внутренних сторон (отрезков) в двух точках, таким образом общее число пересечений будет равно 2*n.
Также, каждый из треугольников имеет 3 внутренние стороны, и каждая из сторон пересекается с прямой по k раз, тогда общее количество пересечений равно 3*k.
Из условия задачи получаем уравнение 2*n = 21 + 3*k. Рассмотрим все возможные значения для n:
1. Пусть n = 5. Тогда из уравнения 2*5 = 21 + 3*k следует, что k = -1, что невозможно, так как количество пересечений не может быть отрицательным.
2. Пусть n = 6. Тогда 2*6 = 21 + 3*k, откуда k = 2.
3. Пусть n = 7. Тогда 2*7 = 21 + 3*k, что невозможно, так как левая часть больше правой.
Таким образом, возможное количество отмеченных точек может быть равно 6.
Ответ: Возможное число отмеченных точек равно 6.