Дано: На прямой отмечены точки A1, ..., A10, причем точки A2, ..., A9 лежат на отрезке A1A10, длина которого равна 1 см.
Найти: Доказать, что сумма попарных расстояний между отмеченными точками больше 8 см.
Решение с подробными расчетами:
Обозначим расстояние между точками Ai и Ai+1 как di, где i = 1,2,...,9. Поскольку точки A2, ..., A9 лежат на отрезке A1A10, то сумма всех di равна длине отрезка A1A10, то есть d1 + d2 + ... + d9 = 1.
Сумма попарных расстояний между всеми отмеченными точками равна S = d1 + d2 + ... + d9 + A1A2 + A1A3 + ... + A1A10 + A2A3 + ... + A9A10.
Воспользуемся неравенством треугольника для треугольников с вершинами в отмеченных точках:
A1Ai + AiAj > A1Aj, где i ≠ j.
Применяя это неравенство ко всем парам точек, получаем:
S > 8*(d1 + d2 + ... + d9) = 8*1 = 8.
Таким образом, сумма попарных расстояний между отмеченными точками больше 8 см.
Ответ: Сумма попарных расстояний между отмеченными точками больше 8 см.