Дано: В равнобедренном треугольнике ABC биссектрисы углов при основании AC пересекаются в точке O.
Найти: Доказать, что AO = OC.
Решение:
Так как треугольник ABC равнобедренный, то AB = BC.
Пусть D - точка пересечения биссектрис треугольника ABC (AD и CD).
Так как AD и CD - биссектрисы углов треугольника ABC, то они делят углы A и C пополам.
Это значит, что угол BAD = угол DAC и угол BCD = угол ACD.
Рассмотрим треугольники AOD и COD:
Угол OAD = угол OCD (по построению)
Угол ODA = угол ODC (как биссектрисы углов)
Отсюда следует, что треугольники AOD и COD подобны (по признаку углов), так как имеют два равных угла.
Из подобия треугольников:
AO/OC = AD/CD
Так как AD = CD (биссектрисы одинаковой длины при равнобедренном треугольнике), то
AO/OC = 1 => AO = OC
Таким образом, доказано, что в равнобедренном треугольнике ABC с биссектрисами углов при основании AC точка пересечения биссектрис лежит на высоте треугольника и делит ее пополам.
Ответ: AO = OC.