Дано: Медиана AM треугольника ABC вдвое меньше его стороны BC.
Найти: Доказать, что угол A равен сумме углов B и C.
Решение:
Обозначим длину стороны BC как a. Тогда длина медианы AM будет равна a/2.
По теореме о медиане треугольника, медиана AM делит сторону BC пополам и создает два треугольника BCM и ACM, где M - середина стороны BC.
Так как AM = a/2, то в треугольнике AMC по теореме косинусов имеем:
AM^2 = AC^2 + CM^2 - 2 * AC * CM * cos(∠ACM).
Так как CM = a/2 (половина стороны BC) и AC = BC = a, подставляем значения и получаем:
(a/2)^2 = a^2 + (a/2)^2 - 2 * a * (a/2) * cos(∠ACM).
Упрощая и решая уравнение, найдем косинус угла ACM:
1/4 = a^2 + a^2/4 - a^2 * cos(∠ACM).
Далее рассмотрим треугольник AMB.
Так как BM = MC = a/2 (так как M - середина стороны BC), угол BMC будет прямым углом.
Из этого следует, что ∠ACM = ∠AMB (вертикальные углы).
Таким образом, угол A равен сумме углов B и C:
∠A = ∠AMB = ∠ACM = ∠B + ∠C.
Ответ: ∠A = ∠B + ∠C.